Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 thì dư 5 và khi chia cho 31 thì dư 28.

Giải:

Cách 1

Gọi số phải tìm là A => (A - 5) chia hết cho 29 và (A- 5) chia 31 dư 23 (25-5=23)

Mỗi lần bớt thương của phép chia (A-5) chia 31 đi 1 thì ta được thêm 31 mà số 31 này chia cho 29 còn dư 2.

Số lần bớt thương đi là : (29 - 23) : 2 = 3 (lần)

Vì là số nhỏ nhất nên khi bớt thương đi 3 thì thương sẽ còn lại là 0.

Vậy (A-5) là : 31 x 3 + 23 = 116.

Số cần tìm là : 116 + 5 = 121

Cách 2:

Gọi số tự nhiên cần tìm là A

Chia cho 29 dư 5 nghĩa là: A = 29p + 5 ( p ∈ N )

Tương tự:  A = 31q + 28 ( q ∈ N )

Nên: 29p + 5 = 31q + 28=> 29(p - q) = 2q + 23

Ta thấy: 2q + 23 là số lẻ => 29(p – q) cũng là số lẻ ==>p – q >=1

Theo giả thiết A nhỏ nhất => q nhỏ nhất (A = 31q + 28)

                                    =>2q = 29(p – q) – 23 nhỏ nhất

                                    => p – q nhỏ nhất

Do đó p – q = 1 => 2q = 29 – 23 = 6

                        => q = 3

Vậy số cần tìm là: A = 31q + 28 = 31. 3 + 28 = 121